2025-12-07：使叶子路径成本相等的最小增量。用go语言，给出一个整数 n 和一棵以节点 0 为根的树（节点编号 0 到 n−1）。树用长度为 n−1 的边数组 edges 表示，其中 edges[i] = [u_i, v_i] 表示节点 u_i 与 v_i 相连。每个节点 i 关联一个代价 cost[i]，一条路径的“权重”定义为路径上所有节点代价的和。
允许你对任意若干节点各自增加一个不小于 0 的数（不同节点的增量可以不同）；如果某节点增加的值为 0，则视为未改变。目标是通过这样的增量使得从根 0 到所有叶子节点的路径权重都相等。请返回需要被增大的节点的最小数量。
2
edges.length == n - 1。
edges[i] == [ui, vi]。
0
cost.length == n。
1
输入保证 edges 表示一棵合法的树。
输入： n = 3, edges = [[0,1],[0,2]], cost = [2,1,3]。
输出： 1。
解释：
树中有两条从根到叶子的路径：
路径 0 → 1 的得分为 2 + 1 = 3。
路径 0 → 2 的得分为 2 + 3 = 5。
为了使所有路径的得分都等于 5，可以将节点 1 的成本增加 2。
仅需增加一个节点的成本，因此输出为 1。
题目来自力扣3593。
大体步骤
1. 构建树的邻接表
代码首先根据输入的边数组 edges 构建了一个邻接表 g，用于表示树的结构。这是一个无向图，因此每条边都会在邻接表中为两个节点相互添加连接。特别地，代码为根节点0额外添加了一个指向-1的边，这是为了避免在后续处理中将根节点误判为叶子节点。
2. 深度优先搜索（DFS）与贪心调整
核心逻辑在 dfs 函数中，它采用后序遍历（先处理子节点，再处理当前节点）的方式自底向上地计算和调整路径成本。
• 叶子节点处理：当一个节点是叶子节点时（在邻接表中除了父节点只有一个连接），它到根节点的路径成本就是其自身的 cost。DFS函数会直接返回这个成本值。
• 非叶子节点处理：对于非叶子节点，DFS会递归地处理其所有子节点，并收集每个子节点传递上来的、从该子节点到其下属叶子节点的最大路径成本（mx）。
• 寻找最大成本与计数：在处理当前节点的所有子节点时，算法会追踪遇到的最大路径成本 maxS，并记录有多少个子节点能提供这个最大成本（cnt）。这个过程确保了算法能识别出当前节点子树下“最长”的路径。
• 贪心决策与计数：关键的贪心策略在于，为了让所有从当前节点出发到叶子节点的路径成本相等，只需要让那些路径成本较小的子节点向最大的路径成本看齐。具体实现上，算法不会去实际修改节点的 cost 值，而是通过计算需要增加成本的节点数量来解决问题。公式 ans += len(g[x]) - 1 - cnt 的含义是：
len(g[x]) - 1：当前节点 x 拥有的有效子节点数量（因为邻接表中包含指向父节点的边，需要减去）。
cnt：已经拥有最大路径成本的子节点数量。
两者之差，就是那些路径成本不是最大的子节点数量。对于这些子节点所在的路径，我们需要通过增加其中某个节点的成本来提升整条路径的成本。这个“某个节点”的调整可以等效地上推到当前节点 x 的子节点上。因此，这个差值就是在当前节点层面，需要执行成本增加的节点数量。
• 返回路径成本：最后，DFS函数返回从当前节点 x 到其叶子节点的最大路径成本，即 maxS + cost[x]。这个值将提供给 x 的父节点用于计算。
3. 算法启动
从根节点0开始调用DFS，初始的父节点设为-1。DFS遍历完整棵树后，累加器 ans 中存储的值就是所需的最小增量节点数量，将其返回。
复杂度分析
时间复杂度：O(n)
• 建图：需要处理 n-1 条边，时间复杂度为 O(n)。
• DFS遍历：每个节点恰好被访问一次，在每次访问时，处理其所有子节点。虽然每个节点可能有多个子节点，但整棵树的边总数是 n-1，因此所有节点的子节点处理次数总和是 O(n)。DFS的整体时间复杂度为 O(n)。
• 综上，算法的总时间复杂度为 O(n)。
空间复杂度：O(n)
• 邻接表存储：需要存储 n 个节点的邻接关系，空间复杂度为 O(n)。
• 递归调用栈：在最坏情况下（树退化为一条链），递归深度为 n，空间复杂度为 O(n)。
• 综上，算法的总空间复杂度为 O(n)。
Go完整代码如下：
package main
import (
"fmt"
)
func minIncrease(n int, edges [][]int, cost []int) (ans int) {
g := make([][]int, n)
for _, e := range edges {
x, y := e[0], e[1]
g[x] = append(g[x], y)
g[y] = append(g[y], x)
}
g[0] = append(g[0], -1)
var dfs func(int, int)int
dfs = func(x, fa int) (maxS int) {
cnt := 0
for _, y := range g[x] {
if y == fa {
continue
}
mx := dfs(y, x)
if mx > maxS {
maxS = mx
cnt = 1
} elseif mx == maxS {
cnt++
}
}
ans += len(g[x]) - 1 - cnt
return maxS + cost[x]
}
dfs(0, -1)
return
}
func main {
n := 3
edges := [][]int{{0, 1}, {0, 2}}
cost := []int{2, 1, 3}
result := minIncrease(n, edges, cost)
fmt.Println(result)
}
Python完整代码如下：
# -*-coding:utf-8-*-
from typing import List
def minIncrease(n: int, edges: List[List[int]], cost: List[int]) -> int:
g = [[] for _ in range(n)]
for x, y in edges:
g[x].append(y)
g[y].append(x)
g[0].append(-1) # 添加虚拟父节点，方便处理根节点
ans = 0
def dfs(x: int, fa: int) -> int:
nonlocal ans
maxS = 0
cnt = 0
for y in g[x]:
if y == fa:
continue
mx = dfs(y, x)
if mx > maxS:
maxS = mx
cnt = 1
elif mx == maxS:
cnt += 1
ans += len(g[x]) - 1 - cnt
return maxS + cost[x]
dfs(0, -1)
return ans
if __name__ == "__main__":
n = 3
edges = [[0, 1], [0, 2]]
cost = [2, 1, 3]
result = minIncrease(n, edges, cost)
print(result)
C++完整代码如下：
#include
#include
#include
using namespace std;
int minIncrease(int n, vector>& edges, vector& cost) {
vector> g(n);
// 构建邻接表
for (auto& e : edges) {
int x = e[0], y = e[1];
g[x].push_back(y);
g[y].push_back(x);
}
g[0].push_back(-1); // 添加虚拟父节点，方便处理根节点
int ans = 0;
// 使用 function 包装递归函数
function dfs = [&](int x, int fa) -> int {
int maxS = 0;
int cnt = 0;
for (int y : g[x]) {
if (y == fa) continue;
int mx = dfs(y, x);
if (mx > maxS) {
maxS = mx;
cnt = 1;
} elseif (mx == maxS) {
cnt++;
}
}
ans += (int)g[x].size - 1 - cnt;
return maxS + cost[x];
};
dfs(0, -1);
return ans;
}
int main {
int n = 3;
vector> edges = {{0, 1}, {0, 2}};
vector cost = {2, 1, 3};
int result = minIncrease(n, edges, cost);
cout
return0;
}
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